作者|辛有畴(重庆)

“难得来江城。不知道你们俩处得怎么样？”魏宏一走出教室，这个想法就涌上了他的心头。他问了学校老师，然后直奔高中数学组办公室。站在办公室门口，他环顾四周，发现黑娃正在批改作业。叫了一声“黑哥。”一直往前走。黑娃抬起头，“伟鸿，什么风把你吹来了。”他们紧紧地握着手，有说有笑地走出了办公室。这里所有的同事都以为他们是兄弟。黑娃给燕子打电话，叫她下课后出来吃饭。他和伟鸿在岳明茶馆等她。他们在茶馆的雅间坐下后，从工作聊到学习，从孩子读书聊到父母身体状况。黑娃突然想起来：没有话题可以开始和结束，教科院院长怎么会来学校？他好奇地问：“伟鸿，我好几年没见你了。今天怎么想起来参观我们学校了？”魏宏说：“你以为领导上班总要看半天一杯茶，一包烟，一张报纸？已经不是以前的样子了。我们每天都在学习，‘从群众中来，到群众中去’。院里要求大家都到基层去，让他们传政策，给上课。”伟鸿停顿了一会儿接着说道，“说实话，到基层走一走确实收获不少。今天听了一节数学课，老师讲的很好。唉！可惜当年读书的时候没有遇到这么好的老师。如果有这样的数学老师教我，我一定会学好数学。也许我也可以考上北大，清华。也许我的生活更美好."黑娃："不能白怪老师，要多反思。五指有长有短，人的天赋是有差异的。另外，或许是自己的努力还不够。”伟鸿马上解释道，“这真的不是诽谤老师。当年老师一般都是围绕题目，解决每个问题，照本宣科，讲到底。聪明人长期接受这种无聊的教导，就会变成傻子。今天这位老师启发引导，解决了很多问题，不断创新，很好的培养了学生的思维。"黑娃："伟鸿，有些问题需要辩证地看待。教数学解题并不是方法越多越好。简单的方法可能没有意义。”薇薇觉得黑娃很可笑，说：“看你这倔脾气。你喜欢和别人争论。我至少是个院长，经常开会讲课。难道我不懂辩证法吗？我不想和你浪费口舌。来，加微信，我给你发两张照片，看看这个老师是怎么教的。你的学习一定会对你的职业发展有帮助。“伟鸿发了两张照片，写在老师讲课的黑板上。第一张照片是这样写的：

例：在ABC中，求2a c的最大值。

1:利用正弦定理，我们可以知道。

注意：你也可以构造一个向量来寻找这里的最大值。

制造

黑娃看了上面的回答，淡淡地说：“第一种方法简单自然，也是通用的方法。构造一个向量来获取最大值，有点聪明，值得表扬。”

魏："是不是只是聪明了一点？看第二张照片，你能想到这种解决办法吗？”

第二张照片是这样写的：

2:利用余弦定理，我们可以知道。

问题是：如果已知，求2a c的最大值。

将条件转换为：

制造

黑娃看了第二个方案，淡淡地说：“这个方法还是可以的，但是真的不高明。这和《卖油翁》的故事一样，‘除了一手好牌，没有别人。’"当黑娃说"不太"时，她特意摇了摇头。伟鸿笑着说，“没别的，就是一手好牌？这就是凯瑟琳的倔强性格，他骄傲，从不放弃。我知道你数学很好，我相信你没有想到这个解决方案。"黑娃："解数学题是数学老师的基本功。每个老师都可以通过眨眼和皱眉想出几种方法。”伟鸿不相信。看着黑娃稀疏的头发，他笑着说：“谁都会吹牛。眨眼皱眉。我觉得你就算挠头挠脑也未必想要这个方法。我为你做这件事并不难。如果我再挠头，你就变成葛优了。"黑娃："我真不是吹牛。这道题并不算难，只能算是高考中档次的题。稍微想一想，肯定能写出几个解决方案。"魏宏还是不相信，以为黑娃在逞能，马上掏出一百块钱放在桌上说："黑哥，你敢跟我打赌吗？如果我能在10分钟内写出不同的方法，我就输给你，100元。”“赌对了！”黑娃马上掏出一百块钱，放在桌子上。纬拿出手机开始计时，黑娃拿出纸笔开始计算。不到三分钟，黑娃写了一个回答。

3.解：可以用余弦定理得到。

上面的公式可以转换成

根据柯西不等式：

只有当且仅当，

也就是当时取最大值。

看到黑娃的回答，魏宏不解，问：“什么是柯西不等式？这是中学知识吗？”黑娃：“是中学知识！这是高中数学课本里的选修内容。”魏："哦，选修内容。记得高中只学过基本不等式，没听过柯西不等式。既然不是每个学生都要学的，你的方法就不算。另外，你知道我没学过柯西不等式，你完全可以糊弄我。我真的不知道你的答案对不对，除非你给我看基本不等式。”黑娃：“好吧。你知道基本不等式，我就用基本不等式来解，你就服气了。”黑娃拿起纸笔，又开始计算。大约五分钟后，她写了一个答案。

4.解：可以用余弦定理得到。

上面的公式可以转换成

制造，获得

根据基本不等式

(1)

代入(1)得到

只有在这种情况下，取最大值。

看到黑娃的回答，魏宏惊叹不已。起初，他不明白公式(1)的用途。当他看到x和y的值可以通过方程求解时，他已经知道自己输了。黑娃用待定系数法构造基本不等式，看似玄妙，实则合理。魏宏忍不住竖起大拇指说：“黑哥，没想到三角函数题也是用不等式解决的。你的方法真高！”看到黑娃把200块钱揣在怀里，魏红不甘心。突然她想起网上有篇文章报道黑娃是不平等大神。魏宏立即掏出200元钱放在桌上，道：“黑哥，你敢再赌一次吗？你不需要三角函数或者不等式。你10分钟内再给个解决方案，我就输给200块钱。”黑娃：“赌一把。”然后把200元放回桌上就行了。黑娃皱着眉头，盯着草稿纸，一个字也没写。魏宏窃喜，笑着说：“还有最后9分钟呢！”黑娃从茶杯里喝了一口水，停顿了一会儿，又喝了一口水。魏宏又笑：“你别急，慢慢喝。”然后提起茶壶，给黑娃的杯子加开水。大约过了5分钟，黑娃放下杯子，拿起笔，在纸上画了一幅画，很快写下了答案。

解5:因为，设，点B(x，y)在焦点A和c处。

在点的椭圆上，设椭圆的方程为。

根据椭圆的焦点半径公式：

这可以从余弦定理得到

(1)

顺序，然后(2)

从(1)和(2)可以看出：

也就是说，

看了黑娃的回答，魏宏很不解。“他是怎么想到椭圆的？”这时，小燕子走进了雅致的房间，看到了桌子上的答案。燕子觉得好笑。“我以为你们在讨论国家大事，没想到你们在讨论数学问题。魏，你不是学数学的。怎么能学数学呢？这和行政管理有关系吗？”魏宏说了原因。燕子觉得他很可笑，说：“伟鸿，你怎么这么笨？你知道黑哥是数学大神，你跟他赌数学题。怎么能赢呢？”魏宏：“知道他不等式严重，我既不要求不等式，也不要求三角函数。没想到他用椭圆知识解决三角函数问题。一切都有联系吗？”听到伟鸿这样说，燕子也很好奇。拿起桌上的纸，边看书边点头。然后他说：“黑哥的回答真是出乎意料。不过魏宏，这个问题并不是什么难题，对黑哥来说完全是小儿科。这种简单的问题，其实我们初中老师会回答吗？”魏宏不信，说：“燕子，这是高考题。初中老师都能答出来。不可能的。”燕子：“伟鸿，我们学校是‘双新’示范学校，要求初中老师了解高中教学。高中老师对初中教学比较熟悉，高中数学我还是略知一二的。”伟鸿不敢相信郑晓燕说的话。他说：“你能用一点知识回答这个问题吗？大概三四个我知道一点！燕子，我们再赌一次。不需要高中数学知识。如果你能解决这个问题，我就输给300元！”燕子：“我最讨厌赌博，也不想赢你的钱。看你这么看不起人，我今天就得回答这个问题了。不然你以后开会做报告，一定会以我为榜样，嘲笑我们初中数学老师。”说着，燕子拿起桌上的纸笔，写写画画。

6:如图，将AB延伸到P，使BP=2BC。

有空的

所以P点在一条以AC为弦，圆周角为的圆弧上运动，这样只有AP为圆的直径时才能达到2a c的最大值。

当AP是直径时。如图所示，

因此，

看完燕子的回答，伟鸿不由自主地点了点头，暗暗庆幸燕子没有接受打赌。然后对黑娃说：“黑哥，不是我贬低你。看来燕子的解决办法比你的好。”黑娃称赞道，“她的回答真是精妙！不仅计算简单，而且形象直观，尤其是把AB推广到P，构造2a c=PA，真是神来之笔。”燕子说：“你过奖了！俗话说“实践出真知”。伟鸿，你是教育学院的院长。你每天学习教育理论，做研究课题，写报告，肯定比我们强。黑哥，你教高中，你也是竞赛教练，天天研究高考题。你一定比我更熟悉高中数学。我是一名初中老师。我每天都在研究考题。我自然比你更熟悉几何构图。”魏说，“今天，很高兴你输了几百块钱，但我学到了一些东西。第一，术业有专攻；第二，重点中学的老师才是真正的老师；第三，最好选择一所示范性的“双新”学校进行学习。我准备想办法把我的侄子侄女转到重点中学去。”郑晓燕说，“伟鸿，你不能这么说。其实全世界的老师都是兢兢业业，兢兢业业的，到哪里学习都是一样的。没必要跑来跑去转学。”魏宏说：“我以前也是这么想的。刚才我看到你和黑哥的解题能力，我知道你一定要投身教学。”黑娃问卫红，“俗话说‘三个杀猪的谈猪，三个教书的谈书，三个老太婆谈媳妇’。老师不研究本职工作做什么？”卫红道：“黑哥，有些事你可能不知道。我发现有些学校的老师把教书当成副业，把打牌、钓鱼、吃喝玩乐当成主业。有的校领导只做形式，不做实事。芝麻大小的人渣，拍照，填表，写方案，做报告，发微信官方账号，甚至编数据，编故事，像吹气球一样，放大，放大，再放大，拍得栩栩如生。”燕子说，“我们是普通教师。首先要做好本职工作。你说的，我们没时间关心，也改变不了现状。只能徒增烦恼。都快12点了，现在最重要的是吃饭。”然后大家有说有笑的起身走出茶馆。作者简介：辛有畴，重庆潼南人，1991年7月毕业于西南师范大学数学系。重庆市某重点中学高级教师，重庆市“322”(二级)重点人才，重庆市学术技术带头人储备。主持省级项目2项，主要研究省级项目2项，参与国家级项目2项；参与编写大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》；出版专著《数学与生活》、《数学解题泄天机》，在《数学教育学报》 《数学通报》等杂志发表论文70余篇，其中核心期刊20余篇；数学论文获全国紫晶杯数学教育创新论文一等奖，初等数学论文获第二届全国青少年初等数学研究奖；指导学生在《数学通报》等杂志发表文章16篇，指导8名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营。中国数学会三次授予优秀教练员。近年来，他在西南大学、重庆师范大学、重庆教育科学研究院、重庆第二教育学院、重庆三峡学院、重庆市部分区县师范学院和部分中学进行了60多次讲座。重庆晚报、重庆晨报等媒体曾专题报道梨视频的“科学一代”和“宝老师”有视频资料，其中“宝老师”的视频已上《学习强国》。