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作者｜何帅（@Heshawn）同学你好。

「效率研究所」本周上线了一门全新的精品讲座《高考数学：自我提升方法》。这次讲座的核心旨在帮你掌握「错题分析」的基本框架——根据这些原则，你能 独立 解构自己的错题，提炼其中的关键步骤，最终让你在没有外力支持的情况下，也能自我提升 。

——我为这次讲座的7个章节讲解配搭配了超过30,000字的文字版，除了可以收听音频讲解之外、你还可以在每一期课程的音频下方查看与音频讲解对应的全文，希望它们能帮助在听完课程后回顾与复习课程的重点。

今天的推送内容来自这次讲座的第4节《执行运算：你的题目为什么算不下去？》的文字版。

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同学你好，欢迎你回到我们的精品讲座《高中数学：自我提升方法》。

之前两讲我们谈了「条件分析」和「思路构建」方面你可能遇到的大坑，但是在转化条件、构建思路整个过程结束之后，数学的另一个关键问题就是你得算出最后的答案来，所以我们这一讲谈谈到底什么会导致你的计算失误。

高中数学题目大部分的计算并不会很复杂，一般情况下如果一道题目你算起来特别复杂，大概率的原因都是你把它想复杂了，你少用了什么关键信息、或者你的思路压根就不是最简便的，比如典型的是2018年全国课标I卷理科数学的第一道大题——传统上讲第一道题目是不可能非常复杂的，但当时有些学生在考场上就发现这道题目算起来复杂道难以复加的程度，浪费了很多时间、最后导致整个考试崩盘，我在《高考数学阅卷笔记》中就谈了这件事儿，你可以扫描下方图片二维码进入查看，我把这一讲的内容设置为了「试听」：

不过话又说回来，高考题目当中有会有10-20分左右的题目的确涉及了比较复杂的运算，这需要你特别小心得应对，稍有不当你可能就会算错，在运算方面你大概会有三个原因造成翻车：

01

盲目引入参量而不考虑消参过程

首先、我们以前在小学没学过解方程这种东西，所以你不知道什么叫未知数，做题挺老实的；可自从初中之后你们学了设未知数解方程，大家就感觉找到了一个非常好的工具：遇到什么不知道的，先设一个再说，反正最后都能给它解出来。

但后来上了高中，我们讲了「参量」这种概念之后，一个具体的表达式中除了你完全不知道的未知数之外、你还可以设置一些参量，比如一个直线、本身是一个关于x和y的方程，但你也许不知道截距，那你就要设一个参量b来代替，对吧？——可是你注意，变量到最后你要算出来，参量到时候你是要找到它与其他数据之间的关系把他们全部消掉的，事实上如果你把参量也当成未知量的话，你多设一个参量到时候你就得多找一个跟它相关的表达式才能把这个参量消掉。

而有些同学在做题的过程中，完全不顾后果、盲目引入参量——我说的不顾后果的意思是：从来不考虑引入参量之后的消参过程。因为我之前说过：做题的时候你可以设一个未知数、一个不行设两个其实我想说的是：你设10个都没问题，可你在设这个未知数之前，要想清楚你以后怎么把这个未知数给消掉——这个过程是关键的，而且特别关键，如果你放了一个参量却没想好到时候怎么消掉它，引入他就相当于引狼入室，饮鸩止渴，还不如不要。

这种情况在我们解析几何的大题中尤为常见，以后我就会举一些具体的例子。

02

盲目并项计算而破坏原有代数结构

除了参数引入了消不掉之外、还有一种会导致你计算出问题的情况是：你只顾着计算，看见什么都想合并一下，想要把公式弄的表面上更「短」一点，而你没有注意到：并项之后你会损失掉一些代数结构。

比如说高考中「数列」这个部分有一道非常高频的名星题目，就是让你算差比数列的前n项和——什么叫「差比数列」呢？它的形式类似于(2n-1)·3^n，也就是说(2n-1)是一个等差数列我，3^n是一个等比数列，这两个数列相乘得到了一个新的数列，就叫「差比数列」——求这种题目的前n项和的运算方法甚至都有一个自己的名称，叫做「乘公比错位相减法」。

这个方法没有什么思路上的技巧，纯粹就是一些代数运算，但是运算的过程中很能体现我们数学上化简一些复杂公式的基本原则，就是你的整个过程都不能破坏原始的代数结构，比如我在《万剑归宗十套卷》第一期就特别详细地讲过这种题目的运算细节——这种题目是高考中的高频题目，运算也谈不上多复杂，但就是有很多同学从来算不对，因为其中运算的小细节特别多，我强烈建议你听一下这道题目的详细讲解：

——它的核心是：你第一步乘公比的时候，一定要把这个公比乘到等比数列上去，而且不能够进行盲目的并向运算，因为有些时候并向计算看起来是简单了，但是它会损失原有的代数结构。

03

盲目拆分括号或者通分

最后我说的是这个就是：一般来说，导致你算不下去的最后一个情况就是你盲目的拆括号，还有你分式通分。很多同学都是看到了一个式子的时候算着算着感觉，两个括号不知道怎么算，把这两个括号拆了试一下这，种问题就很有可能导致你算着算着算不下去，不信我们就拿一道题来看一下啊，这道题目呢，是2017年的全国一卷理科数学第20题，就是那道解析几何的题目：

这道题目的具体步骤和构思方法不是我今天的重点，要讲清楚这道压轴大题至少需要20分钟的时间，我在《万剑归宗十套卷》专栏里已经讲过了，我把这道题目的笔记放在下面：

这道题目我只放上来了一半，这一页纸是没算完的，全部的笔记你可以在扫码进入后在专栏的「目录」里免费查看，因为今天我要讲的最关键核心是：这道题的第二问中有一个非常复杂的算术形式，你必须把这个复杂式子化简后才能解得最终答案，我把这个最核心的步骤截出来给大家看：

有很多同学在算到上面这张图的第一行时，一看这个算式这么复杂，上手就把括号全部拆了，然后向看看拆完之后什么样——事实上如果你这样做，你将得到一个高度复杂的算式，往后的化简就会很麻烦了。

这道题目正确的做法是你需要认真观察：这个复杂式的两项当中有一个公因式（b-1），你要把它给提取出来，然后消除掉，进而完成整个公式的简化。

04

当我们想要化简时，我们应该怎么做？

高中数学老师总喜欢说「我要变形了」，但是很多学生看到老师对公式做变换就有一种孙悟空七十二变的感觉，很多同学认为高中数学中的复杂公式化简是一门非常玄幻的学问，事实上高中各种各样的公式变换背后有一条统一的主线可以帮助你思考，就是：你要消除同类项——一个公式现在很复杂，你想让他变得简单一点，你最基本的想法不应该是直接把括号给拆了，而应该想办法创造更多的括号出来。

因为拆括号并不能降低公式的复杂度，有时甚至因为你拆了括号，你的公式每一项看上去还更复杂；而你一旦创造了更多的括号，相当于你为自己的算式进行因式分解，你可以从中窥见某些公因式，消除掉它们，你的公式才能简化。

当然关于公式化简最底层的逻辑不是我今天要深入讲解的内容，如果你有兴趣、可以到我们接下来的另一堂课《高考数学瓶颈突破：解构压轴题》当中来深入学习压轴题目的运算构思：

但今天我想在这里简单提一句：数学成绩的提升很难脱离计算，有时你的计算总出错、并不是因为你粗心和马虎，而是你从来没有思考过代数运算的真正目的，盲目破坏代数形式、盲目拆分括号或者通分，在这种基本的思维路线上出了错，任你有再高超的计算技能，这道题目的命运想必都是不容乐观的，因此下次运算时，一定要记住我们今天讲的三个关键点。- E N D-

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