90%的高中生从来都不懂：最值的本质是对称 | 《小题满分》专栏加餐
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作 者 | @Heshawn
你好，我是你的数学老师何帅@Heshawn，咱们之前在《高考数学应试实训规划》的第一期里从一张高考试卷的分数分布开始，说高考试卷想要拿高分，主要得完成1个基础任务和3个进阶副本，其中有一条副本线就是把小题做满分：扫码加入以应试成绩为目标，制定高效学习规划
今天我们就讲一个在解决压轴小题时非常重要的思路：对称与最值。在开始之前先发福利，之前老师有一场讲座叫做《高考数学：小题如何得满分》，其中系统讲解了高考数学小题的应试技巧，如果你对这个话题感兴趣，我可以把这场讲座的课件免费送给大家，关注老师之后在后台回复我「小题满分」四个字，你就能找到它的下载链接：
在高考数学的压轴小题里，有一类非常典型的高难度题目，叫做动态问题求范围，或者说求最值：
通常来说，一道题目如果各个条件都是确定的，那我们相对还是容易分析的，因为你至少还可以想象出来这个问题是什么样子。但是一个问题，如果题干中的某个参数是变化的，这就比较麻烦了，因为你如果想能脑渲动态图像，我就只能说你这是麻雀啄了牛屁股——雀食牛逼。因为众所周知，修一张照片跟剪一段视频，那需要的CPU配置是完全不一样的。就比如这道2017年全国1卷理科数学的第10题：
虽然算不上压轴题，但作为一道解析几何题目，它的运算量还是比较大的，而且他还是一道动态问题，如果你在考场上时间不足，那你该怎么做呢？其实你最应该做的就是把一个动态问题的最值，定成一个定态问题。如果考虑到这个抛物线就是关于x轴对称的，那你完全可以让l1和l2这两条直线也关于x轴对称，所以这两条直线的斜率一个是1，另一个是-1，接下来直线的方程都知道了，这个问题就被降级为了一个弦长公式了，难度直降两个level
有些同学可能说：老师你先等等，为什么你一上来就可以直接假定这两个直线的斜率一个是正一，一个是负一，然后关于x轴对称呢？
对于这个问题，比较玄学的一种回答是：大自然追求对称美，当你遇见动态问题时，你对称就完事儿了。
但我们从正经的角度理性理解，你会知道，如果你想要取得“最值”，在高中数学的范围内，最大的可能是两种：
要么是我们得到了一个二次函数，在对称轴处取得最值；
要么我们得到了一个二元函数，利用基本不等式取得了最值，而你还记得基本不等式取等号的条件吗？就是两部分相等。
所以综合而言，你会发现高中数学当中动态范围的最值问题，都脱离不了“对称性”。
因此，通常来说，面对动态几何图像的最值问题，将图像的对称状态假定为最值状态，一般都不会有什么大问题。
事实上大家稍后还可以用最常规的原始方法算一算，你会发现在计算的最后，想要计算最值，我们用到的一个工具确实是基本不等式，而基本不等式取最值的条件，就是这两条直线斜率的平方相等的时候：
如果你记住了这条经验规律，很多高考数学当中的压轴小题，我们往往能找到更简洁的破局方法。
比如2017年全国1卷理科数学的压轴填空题：
这道题属于空间图像的折叠问题，本来就需要一点想象力，更何况这道题还融合了拼接图像的外接圆，最要命的是这个四棱锥的各边长度还是不确定的，buff叠满了这属于是。
但如果你足够有经验，对于这种动态问题的最值，在极端状态下你可以直接把它内定为一个最对称的形式，比如这位同学，直接把这个三棱锥的四个面都视为正三角形，从而每一个正三角形的高都等于圆半径的四分之三，然后我们可以计算这个三棱锥的底面面积，以及它的高。
那最后，给大家留一个更高难度的思考题：
这是2018年全国1卷理科数学的压轴选择题，大家可以想象一下这个与正方体12条棱所成夹角都相等的截面到底在哪个方向。
以及，这个截面在什么状况下可以取得最大值？
我想看完这篇文章，你至少应该确定的是：这个截面如果取最值，至少得是个正多边形对吗？
你是怎么确定这个正多边形的呢？
欢迎在下方的评论区里写下你的看法呀！
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